C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.7 FUNÇÕES TRANSCENDENTES.

Chama-se função transcendente a aquelas função que não são algébricas. São funções transcendentes:

a) A função exponencial e sua inversa a função logaritmo.

b) As funções trigonométricas e suas inversas.

2.7.1 A Função Exponencial de Base a

Definição 2.26

Se a > 0 e r = p/q é um número racional definimos a^r = a^{p/q} = .

Propriedade 2.2

Para qualquer par de números r, s  Q tem-se :

a) a^r.a^s = a^{r+s} b) (a^r)^s = a^{rs} c) (ab)^r = a^r.b^r

d) (a/b)^r = {a^r}/{b^r} b  0 e) {a^r}/{a^s} = a^{r-s}

Definição 2.27

Seja a  1 um número real positivo. A função f : R  R definida por f(x) = a^x é chamada função exponencial de base a .

O domínio de esta função é D(f) = R e sua imagem Im(f) = R^+ = (0, + ) . Para seu gráfico consideremos dois casos como se observa na Figura 2.36.

Figura 2.36: A função exponencial

Propriedade 2.3

E1) Se 0 < a < 1 , a função f(x) = a^x é decrescente em todo seu domínio.

E2)]Se a > 1 , a função f(x) = a^x é crescente em todo em seu domínio.

E3) O gráfico da função exponencial de base a passa pelo ponto P(0, 1) .

E4) Se 0 < a < 1 , então : a^x tende para +  quando x tende para -  , e a^x tende para - quando x tende para + .

E5)] Se a > 1 então : a^x tende para +  quando x tende para +  , e a^x tende para -  quando x tende para -  .

E6) a^{x+z} = a^x .a^z e a^{x-z} = {a^x}/{a^z}